Question

【題目】【2017鎮江一模20】已知函數，（為常數）．

（1）若函數與函數在處有相同的切線，求實數的值；

（2）若，且，證明：；

（3）若對任意，不等式恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】解：（1），則且.1分

所以函數在處的切線方程為：，

從而，即.

（2）由題意知：設函數，則.

設，從而對任意恒成立，

所以，即，

因此函數在上單調遞減，7分

即，

所以當時，成立.

（3）設函數，

從而對任意，不等式恒成立.

又，

當，即恒成立時，

函數單調遞減.

設，則，

所以，即，符合題意；1

當時，恒成立，此時函數單調遞增.

于是，不等式對任意恒成立，不符合題意；13分

當時，設，

則1

當時，，此時單調遞增，

所以，

故當時，函數單調遞增.

于是當時，成立，不符合題意；1

綜上所述，實數的取值范圍為：.1