Question

（2013•虹口區(qū)一模）在等比數(shù)列{a_n}中，已知a₁a₂=32，a₃a₄=2，則

lim

n→∞

(a1+a2+…+an)=

±16

．

Answer 1

分析：設(shè)出等比數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)和公比，然后由a₁a₂=32，a₃a₄=2聯(lián)立方程組，求出首項(xiàng)和公比后可得等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，最后可求前n項(xiàng)和的極限值．

解答：解：設(shè)等比數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁，公比為q，由a₁a₂=32，a₃a₄=2，得：

a12q=32① a12q5=2②

，
②÷①得：q4=

2

32

=

1

16

=(

1

2

)4，所以，q=±

1

2

．
當(dāng)q=

1

2

時(shí)，代入①得，a₁=±8．
當(dāng)q=-

1

2

時(shí)，不合題意（舍）．
所以，當(dāng)a₁=8，q=

1

2

時(shí)，an=a1qn-1=8×(

1

2

)n-1．
則

lim

n→∞

(a1+a2+a3+…+an)=

lim

n→∞

(8+8×

1

2

+8×

1

4

+…+8×(

1

2

)n-1)
=

lim

n→∞

8×(1-( 1 2 )n)

1- 1 2

=

lim

n→∞

16×(1-(

1

2

)n)=16．
當(dāng)a₁=-8，q=-

1

2

時(shí)，an=a1qn-1=-8×(

1

2

)n-1．
則

lim

n→∞

(a1+a2+a3+…+an)=

lim

n→∞

-(8+8×

1

2

+8×

1

4

+…+8×(

1

2

)n-1)
=-

lim

n→∞

8×(1-( 1 2 )n)

1- 1 2

=-

lim

n→∞

16×(1-(

1

2

)n)=-16．
所以，

lim

n→∞

(a1+a2+…+an)=±16．
故答案為±16．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了等比數(shù)列前n項(xiàng)和的求法，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，訓(xùn)練了數(shù)列極限的求法，此題是中檔題．