Question

【題目】如圖，在直三棱柱中，是邊長為2的正三角形，是的中點，是的中點.

（1）證明：平面；

（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】(1)見證明；(2)

【解析】

（1）取的中點，連接，，據題設可得四邊形是平行四邊形，根據線面平行的證明定理即可得證；

（2）延長交于點，連接，根據題設條件可證明，，兩兩垂直，因而以O為原點，以，，為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標系，寫出各個點的坐標，即可求得平面的法向量為，根據直線與平面夾角的正弦值為直線與平面法向量夾角的余弦值即可得解

（1）證明：設點是的中點，連接，，

∵，分別是，的中點，

∴，且.

又在平行四邊形中，是的中點，

∴，且，

∴，且，

∴四邊形是平行四邊形，

∴.

又∵平面，平面，

∴平面.

（2）解：如圖，延長交于點，連接，

則由（1）及知，

且是的中點，

∵是正三角形，

∴.

又在直三棱柱中，平面平面，平面平面，

∴平面，故，

所以，，兩兩垂直.

如圖，分別以，，為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標系，

則，，，，

∴，，.

設平面的法向量為，

則，即，解得，

∴可取.

設直線與平面的所成角為，

則，

所以直線與平面所成角的正弦值為.