Question

【題目】已知函數f（x）=ex-m（x+1）+1（m∈R）．

（1）若函數f（x）的極小值為1，求實數m的值；

（2）當x≥0時，不等式恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）m=1；（2）（-∞，2]

【解析】

（1）求得，分類討論求得函數的單調性，即可求解函數的極值；

（2）令，求得，令，得，再，利用導數得到的單調性與最值，即可求解．

（1）由題意，函數，則，

①若m≤0，則f'（x）＞0，∴f（x）在（-∞，+∞）單調遞增，所以f（x）無極值，

②若m＞0，當x＞lnm時，f'（x）＞0，

當x＜lnm時，f'（x）＜0，f（x）在（-∞，lnm）單調遞減，在（lnm，+∞）單調遞增，

所以f（x）的極小值為f（lnm），由m-m（lnm+1）+1=1，解得m=1．

（2）令（x≥0），，

令，，

令，

顯然p（x）在[0，+∞）單調遞增，∴p（x）p（0）=2-m．

①當m2時，p（x）0，∴h'（x）0，∴h（x）在[0，+∞）單調遞增，

∴，即g'（x）0，∴g（x）在[0，+∞）單調遞增，

所以g（x）g（0）=2-m0，此時符合題意；

②當m2時，p（0）＜0，∴x0∈（0，+∞），使p（x0）=0，

故p（x）在（0，x0）恒為負值，h（x）在（0，x0）單調遞減，此時，

所以g（x）在（0，x0）單調遞減，所以g（x）g（0）=2-m0，此時不符合題意，

故所求m的取值范圍為（-∞，2]．