Question

【題目】近些年隨著我國國民消費水平的升級，汽車產品已經逐漸進入千家萬戶，但是我國的城市發展水平并不能與汽車保有量增速形成平衡，城市交通問題越發突出，因此各大城市相繼出現了購車限號上牌的政策.某城市采用搖號買車的限號上牌方式，申請人提供申請，經審查合格后，確認申請編碼為有效編碼，這時候就可以憑借申請編碼參加每月一次的搖號.假設該城市有20萬人參加搖號，每個月有2萬個名額，每個月搖上的人退出搖號，沒有搖上的人繼續下個月搖號.

（1）平均每個人搖上號需要多長時間?

（2）如果每個月都有2萬人補充進搖號隊伍，以每個人進入搖號的月份算第一個月，他搖到號的月份設為隨機變量.

①證明：為等比數列；

②假設該項政策連續實施36個月，小王是第一個月就參加搖號的人，記小王參.加搖號的次數為，試求的數學期望（精確到0.01）.

參考數據：，.

Answer 1

【答案】（1）5.5個月；（2）①證明見解析；②

【解析】

（1）設每個人搖上號的時間為個月，得到，求得相應的概率，計算出數學期望，即可得到結論；

（2）（ⅰ）結合等比數列的定義，即可證得為等比數列；（ⅱ）由（ⅰ）求得隨機變量的數學期望，再結合乘公比錯位相減法，即可求解.

（1）由題意，設每個人搖上號的時間為個月，則，

可得，，

， ，

，

所以，

即平均每個人搖上號需要的時間為5.5個月.

（2）（ⅰ）每個月的搖號中恰有的概率搖上，

則有，且，

故為等比數列.

（ⅱ）由（ⅰ）可知，當時，，.

故的數學期望為：.

設.

則，

兩式作差得

所以.