Question

平面內與兩定點A₁（-a，0），A₂（a，0）（a＞0）連線的斜率之積等于非零常數m的點的軌跡，加上A₁、A₂兩點所在所面的曲線C可以是圓、橢圓或雙曲線．求曲線C的方程，并討論C的形狀與m的位置關系．

Answer 1

分析：設出動點M的坐標，利用斜率乘積求出曲線軌跡方程，然后討論 m的值，判斷曲線是圓、橢圓或雙曲線時m的值的情況．

解答：解：設動點為M，其坐標（x，y）．
當x≠±a時，由條件可得k m 1•k m2=

y

x-a

•

y

x+a

=

y2

x2-a2

=m，
即mx²-y²=ma²（x≠±a）．又A₁（-a，0），A₂（a，0）的坐標滿足mx²-y²=ma²．
故依題意，曲線C的方程為mx²-y²=ma²．
當m＜-1時，曲線C的方程為

x2

a2

+

y2

-ma2

=1，C是焦點在y軸上的橢圓；
當m=-1時，曲線C的方程為x²+y²=a²，C是圓心在原點的圓；
當-1＜m＜0時，曲線C 的方程為

x2

a2

+

y2

-ma2

=1，C是焦點在x軸上的橢圓；
當m＞0時，曲線C的方程為

x2

a2

-

y2

ma2

=1，C是焦點在x軸上的雙曲線．

點評：本題考查曲線軌跡方程的求法，曲線與方程的關系的應用，圓錐曲線的判斷，考查分類討論思想的應用．