Question

【題目】如圖，在三棱錐V-ABC中，平面VAB平面ABC， VAB為等邊三角形，ACBC且AC=BC=，O,M分別為AB,VA的中點。

（I）求證：VB//平面MOC；

（II）求證：平面MOC平面VAB；

（III）求三棱錐V-ABC的體積。

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）見解析；（III）.

【解析】試題分析：（1）由中位線定理得OM//VB，故而VB∥平面MOC；

（2）由等腰三角形三線合一可知OC⊥AB，利用面面垂直的性質得出OC⊥平面VAB，進而證得平面MOC平面VAB；

（3）由勾股定理求出AB，OC，得出△VAB的面積，代入棱錐的體積公式即可．

試題解析：

（I）因為O,M分別為AB,VA的中點，

所以OM//VB

又因為VB平面MOC

所以VB//平面MOC

（II）因為AC=BC,O為AB的中點，

所以OCAB

又因為平面VAB平面ABC，且OC平面ABC，

所以OC平面VAB。

∴平面MOC平面VAB；

（III）在等腰直角三角形ACB中，AC=BC=，

所以AB=2，OC=1.

所以等邊三角形VAB的面積.

又因為CO平面VAB,

所以三棱錐C-VAB的體積等于.

又因為三棱錐V-ABC的體積與三棱錐C-VAB的體積相等，

所以三棱錐V-ABC的體積為。