Question

14．命題：①半徑為2，圓心角的弧度數為$\frac{1}{2}$的扇形的周長為5；
②若α、β為第三象限角，且α＞β，則cosα＞cosβ；
③若直線的斜率是-cosθ，則其傾斜角的取值范圍是[$\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}）∪（{\frac{π}{2}，\frac{3π}{4}}$]；
④當x≠$\frac{kπ}{2}$（k∈Z））時，$\frac{sinx+tanx}{cosx+cotx}$的值恒正．其中正確的命題是①④．

Answer 1

分析 利用弧長公式計算判斷①；舉例說明②錯誤；求出斜率的范圍，進一步求得傾斜角的范圍判斷③；化切為弦，化簡后判斷④．

解答 解：①半徑為2，圓心角的弧度數為$\frac{1}{2}$的扇形的周長為$2×2+2×\frac{1}{2}=5$，故①正確；
②若α、β為第三象限角，且α＞β，則cosα＞cosβ，錯誤，如$\frac{7π}{6}$＞$-\frac{3π}{4}$，但cos$\frac{7π}{6}$＜cos（$-\frac{3π}{4}$）；
③若直線的斜率是-cosθ，則其斜率的范圍是[-1，1]，傾斜角的取值范圍是[0，$\frac{π}{4}$]∪[$\frac{3π}{4}$，π），故③錯誤；
④當x≠$\frac{kπ}{2}$（k∈Z））時，$\frac{sinx+tanx}{cosx+cotx}$=$\frac{\frac{sinxcosx+sinx}{cosx}}{\frac{cosxsinx+cosx}{sinx}}$=$\frac{si{n}^{2}x}{co{s}^{2}x}•\frac{1+cosx}{1+sinx}$恒正，故④正確．
∴正確命題的序號是①④．
故答案為：①④．

點評 本題考查命題的真假判斷與應用，考查了三角函數的化簡求值，是中檔題．