Question

已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，記,,
 .
（1）若，且對任意，三個(gè)數(shù)組成等差數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
（2）證明：數(shù)列是公比為的等比數(shù)列的充分必要條件是：對任意，三個(gè)數(shù)組成公比為的等比數(shù)列.

Answer 1

（1）；（2）詳見解析

解析試題分析：（1）由三個(gè)數(shù)是等差數(shù)列，可得.根據(jù)定義可知即。變形為 ，由等差數(shù)列的定義可知，數(shù)列是首項(xiàng)為１，公差為４的等差數(shù)列。從而可得其通項(xiàng)公式。（2）若對于任意，三個(gè)組成公比為的等比數(shù)列，則，由得將上式變形整理根據(jù)等比數(shù)列的定義可證得數(shù)列是公比為的等比數(shù)列；若數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，則對任意，有.根據(jù)已知可證得＝，從而三個(gè)數(shù)組成公比為的等比數(shù)列.
解: （1)因?yàn)閷θ我?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/1d/d/wghaz1.png" style="vertical-align:middle;" />，三個(gè)數(shù)是等差數(shù)列，
所以.                             1分
所以,                                        2分
即.                                      3分
所以數(shù)列是首項(xiàng)為１，公差為４的等差數(shù)列.                   4分
所以.                                  5分
（2）（１）充分性：若對于任意，三個(gè)數(shù)組成公比為的等比數(shù)列，則
.                       6分
所以得    
即.                                       7分
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，由可得，                   8分
所以.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/81/0/0tghh1.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以.                                         
即數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，                  9分
（２）必要性：若數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，則對任意，有
.          &nb