Question

如圖，直角三角形ABC中，∠B=90°，AB=1，BC=

3

．點(diǎn)M，N分別在邊AB和AC上（M點(diǎn)和B點(diǎn)不重合），將△AMN沿MN翻折，△AMN變?yōu)椤鰽'MN，使頂點(diǎn)A'落在邊BC上（A'點(diǎn)和B點(diǎn)不重合）．設(shè)∠AMN=θ．
（1）用θ表示線段AM的長度，并寫出θ的取值范圍；
（2）在△AMN中，若

AN

sin∠AMN

=

MA

sin∠ANM

，求線段A'N長度的最小值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)MA=MA'=x，則MB=1-x，在Rt△MBA'中，利用三角函數(shù)可求；（2）求線段A'N長度的最小值，即求線段AN長度的最小值，再利用三角恒等變換化簡，從而求最值．

解答：解：（1）設(shè)MA=MA'=x，則MB=1-x．
在Rt△MBA'中，cos(180°-2θ)=

1-x

x

，
∴MA=x=

1

1-cos2θ

=

1

2sin2θ

．
∵點(diǎn)M在線段AB上，M點(diǎn)和B點(diǎn)不重合，A'點(diǎn)和B點(diǎn)不重合，
∴45°＜θ＜90°．
（2）∵∠B=90°，AB=1，BC=

3

，
∴∠MAN=60°，在△AMN中∠ANM=120°-θ，

AN

sinθ

=

MA

sin(120°-θ)

，
AN=

sinθ• 1 2sin2θ

sin(120°-θ)

=

1

2sinθsin(120°-θ)

．
令t=2sinθsin(120°-θ)=2sinθ(

1

2

sinθ+

3

2

cosθ)
=sin2θ+

3

sinθcosθ
=

1

2

+

3

2

sin2θ-

1

2

cos2θ=

1

2

+sin(2θ-30°)．
∵45°＜θ＜90°，∴60°＜2θ-30°＜150°．
當(dāng)且僅當(dāng)2θ-30°=90°，θ=60°時(shí)，t有最大值

3

2

，
∴θ=60°時(shí)，A'N有最小值

2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查在實(shí)際問題中建立三角函數(shù)模型，從而利用三角函數(shù)中研究最值的方法解決最值問題，應(yīng)注意角的范圍的確定是關(guān)鍵．