Question

如圖：直角三角形ABC中，AC⊥BC，AB=2，D是AB的中點，M是CD上的動點．
（1）若M是CD的中點，求

MA

•

MB

的值；
（2）求(

MA

+

MB

)•

MC

的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據向量的線性運算，得

MA

=

MD

+

DA

且

MB

=

MD

-

DA

，因此

MA

•

MB

=

MD

2-

DA

2，再代入題中數據即可得到

MA

•

MB

的值；
（2）設MD=x，則MC=1-x，由三角形中線的性質化簡得(

MA

+

MB

)•

MC

=2

MD

•

MC

=2x²-2x，接下來求二次函數y=2x²-2x在區間[0，1]上的最值，即可得到當x=

1

2

時，(

MA

+

MB

)•

MC

的最小值為-

1

2

．

解答：解：（1）∵CD是Rt△ABC的斜邊AB上的中線，
∴CD=

1

2

AB=1，得MD=

1

2

CD=

1

2

∵

MA

=

MD

+

DA

，

MB

=

MD

+

DB

=

MD

-

DA

，
∴

MA

•

MB

=（

MD

+

DA

）（

MD

-

DA

）
=

MD

2-

DA

2=|

1

2

CD

|2-|

DA

|2=(

1

2

)2-12=-

3

4

．…（6分）
（2）設MD=x，則MC=1-x．其中0≤x≤1
∵MD是△MAB的中線，∴

MA

+

MB

=2

MD

，
得(

MA

+

MB

)•

MC

=2

MD

•

MC

=-2|

MD

|•|

MC

|=-2x（1-x）=2x²-2x，
∵2x²-2x=2（x-

1

2

）²-

1

2

∴當且僅當x=

1

2

時，2x²-2x的最小值為-

1

2

． …（12分）
即當x=

1

2

時，(

MA

+

MB

)•

MC

的最小值為-

1

2

．…（14分）

點評：本題給出直角三角形ABC斜邊中線上的動點M，求向量數量積的最小值，著重考查了平面向量數量積的運算和二次函數在閉區間上的最值等知識點，屬于中檔題．