Question

甲、乙兩容器中分別盛有兩種濃度的某種溶液，從甲容器中取出溶液，將其倒入乙容器中攪勻，再從乙容器中取出溶液，將其倒入甲容器中攪勻，這稱為是一次調(diào)和，已知第一次調(diào)和后，甲、乙兩種溶液的濃度分別記為：，，第次調(diào)和后的甲、乙兩種溶液的濃度分別記為：、.
（1）請用、分別表示和；
（2）問經(jīng)過多少次調(diào)和后，甲乙兩容器中溶液的濃度之差小于.

Answer 1

（1），；（2）.

解析試題分析：（1）根據(jù)題中條件歸納出第次調(diào)和時乙容器中溶質(zhì)的量等于從甲容器中取出的溶質(zhì)的量以及從乙容器中本身的溶質(zhì)的量之和，從而得到與和之間的關(guān)系，利用同樣的方法得到與與，從而實現(xiàn)利用和來表示；（2）利用（1）中的表達(dá)式并結(jié)合定義得到數(shù)列為等比數(shù)列，求出該數(shù)列的首項與公比，確定數(shù)列的通項公式，然后解不等式，求出相應(yīng)的即可.
（1）由題意可設(shè)在第一次調(diào)和后的濃度為，，
；

（2）由于題目中的問題是針對濃度之差，所以，我們不妨直接考慮數(shù)列．
由（1）可得：
，
所以，數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列．
所以，，
由題，令，得．所以，，
由得，所以，.
即第次調(diào)和后兩溶液的濃度之差小于.
考點：1.遞推數(shù)列；2.指數(shù)不等式