Question

【題目】已知四棱錐的底面是直角梯形，，，為的中點，.

（1）證明:平面平面；

（2）若與平面所成的角為，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】分析：（1）在直角梯形中，由已知得是等邊三角形，這樣結合可得，再有，因此有平面，從而可證面面垂直；

（2）只要作于點，則可得平面，從而得是中點，，計算得，以為坐標軸建立空間直角坐標系，寫出各點坐標，求出平面和平面的法向量，由法向量的夾角的余弦值得二面角的余弦值．

詳解：（1）證明：由是直角梯形，，

可得

從而是等邊三角形，，平分

∵為的中點，，∴

又∵，∴平面

∵平面，∴平面平面

（2）法一：作于,連,

∵平面平面,平面平面

∴與平面平面

∴為與平面所成的角，，

又∵,∴為中點,

以為軸建立空間直角坐標系，

，

設平面的一個法向量，

由得，

令得，

又平面的一個法向量為，

設二面角為，則

所求二面角的余弦值是.

解法二：作于點,連，

∵平面平面，平面平面

∴ 平面

∴為與平面所成的角,

又∵,∴為中點，

作于點,連,則平面，則，

則為所求二面角的平面角

由，得,∴,∴.