Question

【題目】如圖，在矩形ABCD和矩形ABEF中，，，矩形ABEF可沿AB任意翻折.

（1）求證：當(dāng)點(diǎn)F，A，D不共線時(shí)，線段MN總平行于平面ADF.

（2）“不管怎樣翻折矩形ABEF，線段MN總與線段FD平行”這個(gè)結(jié)論正確嗎？如果正確，請(qǐng)證明；如果不正確，請(qǐng)說(shuō)明能否改變個(gè)別已知條件使上述結(jié)論成立，并給出理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）這個(gè)結(jié)論不正確.要使上述結(jié)論成立，M，N應(yīng)分別為AE和DB的中點(diǎn)，理由見(jiàn)解析

【解析】

（1）在平面圖形中，連接MN與AB交于點(diǎn)G，在平面圖形中可證，當(dāng)點(diǎn)F，A，D不共線時(shí)，，，可證平面ADF，平面ADF，從而有平面平面ADF，即可證明結(jié)論；

（2）這個(gè)結(jié)論不正確.要使上述結(jié)論成立，M，N應(yīng)分別為AE和DB的中點(diǎn).

當(dāng)點(diǎn)F，A，D共線時(shí)，由（1）得；當(dāng)點(diǎn)F，A，D不共線時(shí)，平面平面FDA，則要使，滿(mǎn)足FD與AN共面，只要FM與DN相交即可，可證交點(diǎn)只能為點(diǎn)B，得出只有M，N分別為AE，DB的中點(diǎn)才滿(mǎn)足.

（1）證明：在平面圖形中，連接MN，與AB交于點(diǎn)G.

∵四邊形ABCD和四邊形ABEF都是矩形，，

∴且，

∴四邊形ADBE是平行四邊形，∴.

又，∴四邊形ADNM是平行四邊形，∴.

當(dāng)點(diǎn)F，A，D不共線時(shí)，如圖，，，

平面，平面，所以平面ADF，

同理平面ADF，又，

平面，∴平面平面ADF.

又平面GNM，∴平面ADF.

故當(dāng)點(diǎn)F，A，D不共線時(shí)，線段MN總平行于平面FA D.

（2）解：這個(gè)結(jié)論不正確.

要使上述結(jié)論成立，M，N應(yīng)分別為AE和DB的中點(diǎn).理由如下：

當(dāng)點(diǎn)F，A，D共線時(shí)，由（1）得.

當(dāng)點(diǎn)F，A，D不共線時(shí)，如圖，

由（1）知平面平面FDA，則要使總成立，

根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理，只要FD與共面即可.

若要使FD與共面，連接FM，只要FM與DN相交即可，

∵平面ABEF，平面ABCD，

平面平面，

∴若FM與DN相交，則交點(diǎn)只能為點(diǎn)B，

由于四邊形為平行四邊形，與的交點(diǎn)為的中點(diǎn)，

則只有M，N分別為AE，DB的中點(diǎn)才滿(mǎn)足.

由，

可知它們確定一個(gè)平面，即F，D，N，M四點(diǎn)共面.

∵平面平面，

平面平面，

平面平面FDA，∴.