Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx﹣2經過點A（4，0），B（1，0）．

（1）求出拋物線的解析式；

（2）點D是直線AC上方的拋物線上的一點，求△DCA面積的最大值；

（3）P是拋物線上一動點，過P作PM⊥x軸，垂足為M，是否存在P點，使得以A，P，M為頂點的三角形與△OAC相似？若存在，請求出符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+x﹣2；（2）當t=2時，△DAC面積最大為4；（3）符合條件的點P為（2，1）或（5，﹣2）或（﹣3，﹣14）．

【解析】

（1）把A與B坐標代入解析式求出a與b的值，即可確定出解析式；（2）如圖所示，過D作DE與y軸平行，三角形ACD面積等于DE與OA乘積的一半，表示出S與t的二次函數解析式，利用二次函數性質求出S的最大值即可；（3）存在P點，使得以A，P，M為頂點的三角形與△OAC相似，分當1＜m＜4時；當m＜1時；當m＞4時三種情況求出點P坐標即可．

（1）∵該拋物線過點A（4，0），B（1，0），

∴將A與B代入解析式得：，解得：，

則此拋物線的解析式為y=﹣x2+x﹣2；

（2）如圖，設D點的橫坐標為t（0＜t＜4），則D點的縱坐標為﹣t2+t﹣2，

過D作y軸的平行線交AC于E，

由題意可求得直線AC的解析式為y=x﹣2，

∴E點的坐標為（t，t﹣2），

∴DE=﹣t2+t﹣2﹣（t﹣2）=﹣t2+2t，

∴S△DAC=×（﹣t2+2t）×4=﹣t2+4t=﹣（t﹣2）2+4，

則當t=2時，△DAC面積最大為4；

（3）存在，如圖，

設P點的橫坐標為m，則P點的縱坐標為﹣m2+m﹣2，

當1＜m＜4時，AM=4﹣m，PM=﹣m2+m﹣2，

又∵∠COA=∠PMA=90°，

∴①當==2時，△APM∽△ACO，即4﹣m=2（﹣m2+m﹣2），

解得：m=2或m=4（舍去），

此時P（2，1）；

②當==時，△APM∽△CAO，即2（4﹣m）=﹣m2+m﹣2，

解得：m=4或m=5（均不合題意，舍去）

∴當1＜m＜4時，P（2，1）；

類似地可求出當m＞4時，P（5，﹣2）；

當m＜1時，P（﹣3，﹣14），

綜上所述，符合條件的點P為（2，1）或（5，﹣2）或（﹣3，﹣14）．