Question

已知函數h（x）=2^x（x∈R），它的反函數記為h^-1（x）．A、B、C三點在函數h^-1（x）的圖象上，它們的橫坐標分別為a，a+4，a+8（a＞1），設△ABC的面積為S．
（1）求S=f（a）的表達式；
（2）求函數f（a）的值域；
（3）若S＞2，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出函數h（x）=2^x的反函數，在反函數解析式中分別取x=a，a+4，a+8求出對應的函數值，利用三角形的面積等于兩個小梯形的面積減去大梯形的面積整理得答案；
（2）首先求真數的值域，然后利用對數函數的單調性求函數f（a）的值域；
（3）把S代入S＞2，求解對數不等式即可得到a的取值范圍．

解答：解：（1）由h（x）=2^x（x∈R），得h^-1（x）=log₂x（x＞0）．
∵A、B、C三點在函數h^-1（x）的圖象上，它們的橫坐標分別為a，a+4，a+8（a＞1），
∴h^-1（a）=log₂a，h^-1（a+4）=log₂（a+4），h^-1（a+8）=log₂（a+8）．
過A、B、C三點分別作x軸的垂線AA₁，BB₁，CC₁．
∴S=f（a）=SABB1A1+SBCC1B1-SACC1A1
=

1

2

[log2a+log2(a+4)]×4+

1

2

[log2(a+4)+log2(a+8)]×4-

1

2

[log2a+log2(a+8)]
=2log2(a2+4a)+2log2(a2+12a+32)-4log2(a2+8a)
=2log2

a(a+4)(a+4)(a+8)

a2(a+8)2

=2log2

(a+4)2

a(a+8)

 （a＞1）；
（2）令g（a）=

(a+4)2

a(a+8)

=1+

16

a2+8a

，
由已知a＞1，得a²+8a＞9，0＜

1

a2+8a

＜

1

9

，
0＜

16

a2+8a

＜

16

9

，1＜1+

16

a2+8a

＜

25

9

．
∴1＜g（a）＜

25

9

．
則f（a）=2log₂g（a）∈(0，4log2

5

3

)；
（3）由S＞2，得2log2

(a+4)2

a(a+8)

＞2，即log2

(a+4)2

a(a+8)

＞1，

(a+4)2

a(a+8)

＞2（a＞1），解得a＞4

2

-4．

點評：本題考查了函數的反函數的求法，考查了函數的值域，考查了學生的計算能力，是中檔題．