Question

【題目】設橢圓的左、右焦點分別為，，上頂點為，過點與垂直的直線交軸負半軸于點，且.

（1）求橢圓的方程；

（2）過橢圓的右焦點作斜率為1的直線與橢圓交于兩點，試在軸上求一點，使得以，為鄰邊的平行四邊形是菱形.

Answer 1

【答案】（1）；（2）點坐標為時.

【解析】

（1）根據已知求出，再根據直線與直線垂直求出b的值，即求出橢圓的方程；（2）先求出線段的中點為，再根據求出t的值，即得解.

（1）設橢圓的焦距為，則點，點，

設，且，則，，

∵，則，所以，即.

∵直線與直線垂直，且點，

∴，，

由，得，

∵，∴，.

因此，橢圓的方程為.

（2）由（1）得.設點，，直線的方程為.

將直線的方程與橢圓的方程聯立，消去并整理得，

由韋達定理得，所以.

因此，線段的中點為.

設點的坐標為，由于，為鄰邊的平行四邊形是菱形，則.

所以直線的斜率為，解得.

因此，當點坐標為時，以，為鄰邊的平行四邊形為菱形.