Question

【題目】已知橢圓的左右焦點分別為，是橢圓短軸的一個頂點，且是面積為的等腰直角三角形.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）已知直線：與橢圓交于不同的，兩點，若橢圓上存在點，使得四邊形恰好為平行四邊形，求直線與坐標軸圍成的三角形面積的最小值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根據(jù)等腰直角三角形可得，然后寫出橢圓的標準方程；

（2）由題意可設(shè)，，聯(lián)立，根據(jù)韋達定理和四邊形恰好為平行四邊形可得點的坐標，將其代入橢圓方程可得，再利用面積公式和基本不等式可得最小值.

（1）由已知得，設(shè).

是面積為1的等腰直角三角形，

∴橢圓E的方程為

（2）由題意可設(shè)，.

聯(lián)立整理得，則.

根據(jù)韋達定理得

因為四邊形恰好為平行四邊形，所以.

所以，

因為點P在橢圓C上，所以，

整理得，即

在直線l：中，由于直線與坐標軸圍成三角形，則，.

令，得，令，得.

所以三角形面積為

當且僅當，時，取等號，此時.

所以直線l與坐標軸圍成的三角形面積的最小值為.