Question

【題目】已知項數為的數列滿足如下條件：①；②．若數列滿足，其中則稱為的“心靈契合數列”．

（I）數列1，5，9，11，15是否存在“心靈契合數列”若存在，寫出其心靈契合數列，若不存在請說明理由；

（II）若為的“心靈契合數列”，判斷數列的單調性，并予以證明；

（Ⅲ）已知數列存在“心靈契合數列”，且，，求m的最大值．

Answer 1

【答案】（I）不存在，理由見解析；（II）單調遞減，證明見解析； （Ⅲ）33

【解析】

（I）求出、、、后，根據“心靈契合數列”的定義判定即可；

（II）由“心靈契合數列”的定義，結合數列單調性討論的符號即可得解；

（Ⅲ）根據數列及其“心靈契合數列”中項的特征，結合單調性分析出，即可得解.

（I）數列1，5，9，11，15不存在“心靈契合數列”

因為，

，，

，，

所以數列1，5，9，11，15不存在“心靈契合數列”

（Ⅱ）數列為單調遞減數列．

因為，，，

又因為，所以有，

所以，

即成立

所以數列為單調遞減數列．

（Ⅲ），都有，

因為，．

所以，

所以，

所以

因為，

所以，

又

，

則，即，，所以．

例如：，

此時，，

且為單調遞減數列，故滿足題意．

所以m的最大值是33．