Question

【題目】已知數(shù)列的首項(xiàng)，其前項(xiàng)和為，對(duì)于任意正整數(shù)，，都有.

（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）設(shè)數(shù)列滿足，且.

①求證數(shù)列為常數(shù)列.

②求數(shù)列的前項(xiàng)和.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）①見證明；②

【解析】

（Ⅰ）在中取，求得.然后求出當(dāng)時(shí)的通項(xiàng)公式.

（Ⅱ）①將數(shù)列的通項(xiàng)公式代入， 用構(gòu)造法得出，即得證.

②由①可知，，則等差數(shù)列前項(xiàng)和.當(dāng)時(shí),得；當(dāng)時(shí),得；當(dāng)時(shí)，；從而可求得數(shù)列的前項(xiàng)和.

解：（Ⅰ）令，，則由，得

因?yàn)?/span>，所以，

當(dāng)時(shí)，，且當(dāng)時(shí)，此式也成立．

所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為

（Ⅱ）①因?yàn)?/span>，所以（※），

又因?yàn)?/span>，由（※）式可得，且

將（※）式整理

兩邊各加上得

可知恒成立

所以數(shù)列為常數(shù)列

②由①可知，，前項(xiàng)和，

可知，前兩項(xiàng)為正數(shù)，從第三項(xiàng)開始為負(fù)數(shù)，

時(shí)，；

時(shí)，；

時(shí)，

經(jīng)檢驗(yàn)，時(shí)也適合上式

所以，