Question

【題目】已知函數(shù)．

若，，試證明：當(dāng)時(shí)，；

若對(duì)任意，均有兩個(gè)極值點(diǎn)，

試求b應(yīng)滿足的條件；

當(dāng)時(shí)，證明：．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2），.見解析

【解析】

（1）求出導(dǎo)數(shù)，求出其最小值，由最小值大于0，從而證明出結(jié)論．

（2）首先＝0有兩個(gè)不等的實(shí)根，再用導(dǎo)數(shù)研究的性質(zhì)，求導(dǎo)，利用的正負(fù)確定的單調(diào)性及最小值點(diǎn)，在時(shí)，計(jì)算出 ，由零點(diǎn)存在定理可得存在兩個(gè)零點(diǎn)，即有兩個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，可取，此時(shí)沒有零點(diǎn)極值點(diǎn)；

由知，，為的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，由于，可判斷出兩零點(diǎn)一正一負(fù)，即，且在遞減，為證題中不等式，先做一些準(zhǔn)備工作，下面先證，只需證明，注意到得，從而，下面再用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)證明；由函數(shù)單調(diào)性得，問題轉(zhuǎn)化為只需證明，

即證明，這再用導(dǎo)數(shù)加以證明．

證明：，，，

，，

令，解得．

可得：時(shí)，函數(shù)取得極小值即最小值，

，

函數(shù)在當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增，．

當(dāng)時(shí)，．

，．

設(shè)，則，

，，，，

故在遞減，在遞增，

故至多有2個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，，，

，且，

又，

由可知，

是R上的連續(xù)函數(shù)，

在，上各有1個(gè)零點(diǎn)，，

此時(shí)，，為函數(shù)的2個(gè)不同的極值點(diǎn)，

故符合題意；

當(dāng)時(shí)，取，則在遞減，在遞增，

故，

故時(shí)，，

故函數(shù)遞增，沒有極值點(diǎn)，不合題意，

綜上，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，均有2個(gè)極值點(diǎn)；

由知，，為的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

，，在遞減，

下面先證，只需證明，

得，

，

設(shè)，，

則，

故在遞減，

，，，

又，時(shí)，，

在遞減，，

問題轉(zhuǎn)化為只需證明，

即證明，

設(shè)函數(shù)，，

則，

設(shè)，則，

在遞增，

，即，

在遞增，，

當(dāng)時(shí)，，

則，

，

．