Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=（a﹣1）（ax﹣a﹣x）（0＜a＜1）．
（1）判斷f（x的奇偶性；
（2）用定義證明f（x）為R上的增函數(shù)．

Answer 1

【答案】
（1）解：由函數(shù)f（x）=（a﹣1）（ax﹣a﹣x），

對(duì)任意x∈R，都有f（﹣x）=（a﹣1）（a﹣x﹣ax）=﹣f（x），

所以f（x）為定義域R上的奇函數(shù)；

（2）證明：設(shè)x1、x2∈R且x1＜x2，則

f（x1）﹣f（x2）=（a﹣1）（ ﹣ ）﹣（a﹣1）（ ﹣ ）

=（a﹣1）[（ ﹣ ）﹣（ ﹣ ）]

=（a﹣1）[（ ﹣ ）﹣ ]

=（a﹣1）（ ﹣ ）（1+ ），

由于0＜a＜1， ﹣ ＞0，1+ ＞0，

于是f（x1）＜f（x2），所以f（x）為R上的增函數(shù)

【解析】（1）利用奇偶性的定義即可判斷函數(shù)f（x）為定義域上的奇函數(shù)；（2）利用單調(diào)性的定義即可證明f（x）為定義域上的增函數(shù)．
【考點(diǎn)精析】利用函數(shù)單調(diào)性的判斷方法和函數(shù)的奇偶性對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知單調(diào)性的判定法：①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個(gè)自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較；偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．