Question

（本題滿分15分）設橢圓的離心率右焦點到直線的距離，為坐標原點。

（Ⅰ)求橢圓的方程；
（Ⅱ)過點作兩條互相垂直的射線，與橢圓分別交于兩點，證明點到直線的距離為定值，并求弦長度的最小值．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）弦AB的長度的最小值是

本試題主要是考查了直線與橢圓的位置關系的運用以及橢圓方程的求解，韋達定理的綜合運用。
（1）運用橢圓幾何性質和點到直線的距離公式可知,a,b,c的關系式得到橢圓的方程。
（2）設出直線與橢圓聯立方程組，然后借助于韋達定理和點到直線的距離，表示，然后利用，得到弦AB的長度的最小值是
解：（Ⅰ）由， ………2分
由右焦點到直線的距離得：………5分
所以橢圓C的方程為……..6分
（Ⅱ）設當直線AB的斜率存在時，設為，與橢圓
聯立消去得：
由△>0得，    ………8分
,，即


整理得                  ………10分
所以O到直線AB的距離  ………12
當直線AB的斜率不存在時易得，即命題得證；………13分
又
由，
即弦AB的長度的最小值是………15分