Question

【題目】對于任意給定的無理數及實數，圓周上的有理點的個數情況是（）

A. 至多一個 B. 至多兩個 C. 至少兩個，個數有限 D. 無數多個

Answer 1

【答案】B

【解析】

對于點，用表示上述圓周上有理點的個數.

首先，作一個符合條件的圓，其上至少有兩個有理點.

為此，取點，線段中垂線的方程為.在垂線上取點，再取.則以為圓心、為半徑的圓周上至少有這兩個有理點.

其次，說明對于任何無理點以及任意正實數，都有.

為此，假設有無理點及正實數，在以為圓心、為半徑的圓周上至少有三個有理點（為有理數，）.則

.

據前一等式得，①

據后一等式得.②

則為有理數.

若，則由式①得.

由為無理數得.

故共點，矛盾.

同理，若，可得共點，矛盾.

若，，由式①、②消去得

為有理數.

因為無理數，所以，.

從而，.

則三點共線，這與三點共圓矛盾.

因此，所設不真，即這種圓上至多由兩個有理點.

于是，對于所有的無理點及所有正實數，的最大值為2. 選B.