Question

（07年福建卷文）（本小題滿分12分）

數列{a_n}的前N項和為S_n,a₁=1,a_n+1=2S_n (n∈N*).

(I)求數列{a_n}的通項a_n;

(II)求數列｛na_n｝的前n項和 T_n .

Answer 1

本小題考查數列的基本知識，考查等比數列的概念、通項公式及數列的求和，考查分類討論及歸的數學思想方法，以及推理和運算能力.滿分12分.

解析：（I）∵a_n+1=2S_n,,

∴S_n+1-S_n=2S_n,

∴=3.

又∵S₁＝a₁=1,

∴數列｛S_n｝是首項為1、公比為3的等比數列，S_n=3^n-1(n∈N*).

∴當n2時，a_n-2S_n-1=2?3^n-2(n2),

∴a_n=

(II)T_n=a₁+2a₂+3a₃+…+na_n.

當n=1時，T1=1;

當n2時，Tn=1+4?3⁰+6?3¹+2n?3 ^n-2,…………①

3T_n=3+4?3¹+6?3²+…+2n?3^n-1,…………②

①-②得：-2T_n=-2+4+2(3¹+3²+…+3^n-2)-2n?3 ^n-1

                                          =2+2?

                     =-1+(1-2n)?3^n-1

∴T_n=+(n-)3^n-1   (n2).

又∵T_n=a1=1也滿足上式，

∴T_n=+(n-)3^n-1(n∈N*)