Question

（2010•永州一模）某種出口產(chǎn)品的關(guān)稅稅率t，市場(chǎng)價(jià)格x（單位：千元）與市場(chǎng)供應(yīng)量p（單位：萬件）之間近似滿足關(guān)系式：p=2^{（1-kt）（x-b）2}，其中k，b均為常數(shù)．當(dāng)關(guān)稅稅率為75%時(shí)，若市場(chǎng)價(jià)格為5千元，則市場(chǎng)供應(yīng)量均為1萬元；若市場(chǎng)價(jià)格為7千元，則市場(chǎng)供應(yīng)量約為2萬件．
（1）試確定k、b的值；
（2）市場(chǎng)需求量q（單位：萬件）與市場(chǎng)價(jià)格x近似滿足關(guān)系式：q=2-x．p=q時(shí)，市場(chǎng)價(jià)格稱為市場(chǎng)平衡價(jià)格．當(dāng)市場(chǎng)平衡價(jià)格不超過4千元時(shí)，試確定關(guān)稅稅率的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)“關(guān)系式：p=2^{（1-kt）（x-b）2}，及市場(chǎng)價(jià)格為5千元，則市場(chǎng)供應(yīng)量均為1萬元；市場(chǎng)價(jià)格為7千元，則市場(chǎng)供應(yīng)量約為2萬件．”，可得到

1=2(1-0.75t)(5-b)2 2=2(1-0.75)(7-b)2

從而求得結(jié)果．
（2）當(dāng)p=q時(shí)，可得2^{（1-t）（x-5）2}=2^-x，可求得t=1+

x

(x-5)2

=1+

1

x+ 25 x -10

，由雙勾函數(shù)f（x）=x+

25

x

在（0，4]上單調(diào)遞減，可知當(dāng)x=4時(shí)，f（x）有最小值．

解答：解：（1）由已知可得：

1=2(1-0.75t)(5-b)2 2=2(1-0.75)(7-b)2

∴

(1-0.75k)(5-b)2=0 (1-0.75k)(7-b)2=1

，
解得：b=5，k=1
（2）當(dāng)p=q時(shí)，2^{（1-t）（x-5）2}=2^-x
∴（1-t）（x-5）²=-x?t=1+

x

(x-5)2

=1+

1

x+ 25 x -10

，
而f（x）=x+

25

x

在（0，4]上單調(diào)遞減，∴當(dāng)x=4時(shí)，f（x）有最小值

41

4

，
此時(shí)t=1+

1

x+ 25 x -10

取得最大值5；
故當(dāng)x=4時(shí)，關(guān)稅稅率的最大值為500%

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)模型的應(yīng)用，考查了指數(shù)方程的解法和雙勾函數(shù)最值的求法．