Question

（2010•永州一模）已知四棱錐P-ABCD的底面是邊長為2的菱形，且∠BAD=60^o，PA⊥平面ABCD，且PA=1，E、F分別是BC、PA的中點．
（1）求證：BF∥平面PED；
（2）求二面角P-DE-A的余弦值．

Answer 1

分析：（1）以A為原點，過點A且平行DE的直線為y軸，AD，AP所在直線分別為x軸、z軸，建立空間直角坐標系A-xyz，求出平面PDE一個法向量

n1

，根據

BF

•

n1

=0推出BF∥平面PDE；
（2）可取平面ABCD的法向量

n2

，先求出平面PDE一個法向量

n1

與平面ABCD的法向量

n2

的夾角，從而得到二面角的大小．

解答：解：以A為原點，過點A且平行DE的直線為y軸，AD，AP所在直線分別為x軸、z軸，建立空間直角坐標系A-xyz則A（0，0，0），D（2，0，0），P（0，0，1），E(2，

3

，0)，F(0，0，

1

2

)，B(1，

3

，0)∴

PD

=(2，0，-1)，

DE

=(0，

3

，0)，

BF

=(-1，-

3

，

1

2

)（2分）
（1）設平面PDE法向量

n1

=（x，y，z）
由

n1 • PD =0 n1 • DE =0

⇒

2x-z=0 3 y=0

令x=1，則

n1

=(1，0，2)∵

BF

•

n1

=0∴

BF

⊥

n1

又∵BF?平面PDE∴BF∥平面PDE．（7分）
（2）可取平面ABCD的法向量

n2

=

AP

=(0，0，1)∴cos＜

n1

，

n2

＞=

2

1× 5

=

2 5

5

∴所求二面角的余弦值為

2 5

5

．（12分）

點評：本小題主要考查直線平行與平面的判定，以及利用空間向量度量二面角，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于基礎題．