Question

如圖，已知三棱錐A-BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M為AB的中點，D為PB的中點，且△PMB為正三角形．
（1）求證：DM∥平面APC；
（2）若BC=4，AB=20，求三棱錐D-BCM的體積．

Answer 1

分析：（1）可由三角形的中位線定理得到線線平行，進而得到線面平行．
（2）先證明MD⊥底面BCD，進而可計算出體積．

解答：（1）證明：∵M為AB的中點，D為PB的中點，∴MD為△PAB的中位線，∴MD∥AP．
而AP?平面PAC，MD?平面PAC，
∴MD∥平面PAC．
（2）解：∵△PMB為正三角形，PD=DB，∴MD⊥PB．
∵MD∥AP，AP⊥PC，∴MD⊥PC．
又PC∩PB=P，∴MD⊥平面PBC．即MD為三棱錐M-BCD的高．
由AB=20，∴MB=10，BD=5，∴MD=5

3

．
在Rt△PCB中，由勾股定理得PC=

102-42

=2

21

．
于是S_△BCD=S_△BCP×

1

2

=

1

2

×

1

2

×2

21

×4=2

21

．
∴V_{三棱錐D-BCM}=V_{三棱錐M-BCD}=

1

3

×2

21

×5

3

=10

7

．

點評：利用三角形的中位線定理證明線線平行是證明線面平行常用的方法之一．先證明線面垂直是求體積的關鍵．