Question

（本小題滿分12分）

       設(shè)函數(shù)f (x)＝ln(x＋a)+x².

（Ⅰ）若當(dāng)x＝1時(shí)，f (x)取得極值，求a的值，并討論f (x)的單調(diào)性；

（Ⅱ）若f (x)存在極值，求a的取值范圍，并證明所有極值之和大于ln.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；分別在區(qū)間單調(diào)遞增，在區(qū)間單調(diào)遞減．

（Ⅱ），證明見(jiàn)解析

【解析】

（Ⅰ），依題意有，故．

從而．的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052102174092186860/SYS201205210220402656976898_DA.files/image009.png">，

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，．

分別在區(qū)間單調(diào)遞增，在區(qū)間單調(diào)遞減．

（Ⅱ）的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052102174092186860/SYS201205210220402656976898_DA.files/image016.png">，．

方程的判別式．

（ⅰ）若，即，在的定義域內(nèi)，故無(wú)極值．

（ⅱ）若，則或．

若，，．

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，所以無(wú)極值．

若，，，也無(wú)極值．

（ⅲ）若，即或，則有兩個(gè)不同的實(shí)根，．

當(dāng)時(shí)，，從而有的定義域內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)，故無(wú)極值．

當(dāng)時(shí)，，，在的定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，由根值判別方法知在取得極值．

綜上，存在極值時(shí)，的取值范圍為．

的極值之和為

.