Question

【題目】已知函數是定義在R上的奇函數，其中為指數函數，且的圖象過定點．

（1）求函數的解析式；

（2）若關于x的方程，有解，求實數a的取值范圍；

（3）若對任意的，不等式恒成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) (2) (3)

【解析】

（1）設出的解析式，根據點求得的解析式.根據為奇函數，求得解析式.

（2）根據的單調性和值域，求得的取值范圍.

（3）證得的單調性，結合的奇偶性化簡不等式，得到對任意的，，利用二次函數的性質求得的取值范圍.

（1）設(，且)，則，

所以 (舍去)或，

所以，．

又為奇函數，且定義域為R，

所以，即，所以，

所以．

（2）由于為上減函數，由于，所以，所以，所以.

（3）設，

則．

因為，所以，

所以，

所以，即，

所以函數在R上單調遞減．

要使對任意的，

恒成立，

即對任意的，

恒成立．

因為為奇函數，

所以恒成立．

又因為函數在R上單調遞減，

所以對任意的，恒成立，

即對任意的，恒成立．

令，，

時，成立；

時，

所以，．

，，無解．

綜上，．