Question

【題目】如圖，在正方體ABCD－ABCD中,平面垂直于對(duì)角線AC,且平面截得正方體的六個(gè)表面得到截面六邊形,記此截面六邊形的面積為S,周長為l,則（ ）

A. S為定值,l不為定值 B. S不為定值,l為定值

C. S與l均為定值 D. S與l均不為定值

Answer 1

【答案】B

【解析】

將正方體切去兩個(gè)正三棱錐和，得到一個(gè)幾何體，是以平行平面和為上下底，每個(gè)側(cè)面都是直角等腰三角形，截面多邊形的每一條邊分別與的底面上的一條邊平行，設(shè)正方體棱長為，，可求得六邊形的周長為與無關(guān)，即周長為定值；當(dāng)都在對(duì)應(yīng)棱的中點(diǎn)時(shí)，是正六邊形，計(jì)算可得面積，當(dāng)無限趨近于時(shí)，的面積無限趨近于，從而可知的面積一定會(huì)發(fā)生變化。

設(shè)平面截得正方體的六個(gè)表面得到截面六邊形為，與正方體的棱的交點(diǎn)分別為（如下圖），

將正方體切去兩個(gè)正三棱錐和，得到一個(gè)幾何體，是以平行平面和為上下底，每個(gè)側(cè)面都是直角等腰三角形，截面多邊形的每一條邊分別與的底面上的一條邊平行，設(shè)正方體棱長為，，則，，故，同理可證明，故六邊形的周長為，即周長為定值；

當(dāng)都在對(duì)應(yīng)棱的中點(diǎn)時(shí)，是正六邊形，計(jì)算可得面積，三角形的面積為，當(dāng)無限趨近于時(shí)，的面積無限趨近于，故的面積一定會(huì)發(fā)生變化，不為定值。

故答案為B.