Question

【題目】設，向量分別為平面直角坐標內軸正方向上的單位向量，若向量 ， , ,且．

（Ⅰ）求點的軌跡的方程；

（Ⅱ）設橢圓，曲線的切線 交橢圓于、兩點，試證：的面積為定值.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】（Ⅰ）∵ ， , ,且．

∴

∴ 點到兩個定點，的距離之和為4…………2分

∴ 點的軌跡是以、為焦點的橢圓，設所求橢圓的標準方程為則：

∴ ………………3分

其方程為. ……………4分

（Ⅱ）證明：設，，

將代入橢圓的方程，消去可得

顯然直線與橢圓的切點在橢圓內，∴，

由韋達定理得：

， ……………………………………………6分

所以 …………………………………………………7分

因為直線與軸交點的坐標為，

所以的面積 …………………9分

…………10分

設 ，則，

將代入橢圓的方程，可得 ………11分

由，可得， 即， …………………………………………12分

所以為定值. ………………………………………………………………13分

【命題意圖】本題主要考查直線的方程、橢圓的方程與性質、直線與橢圓的位置關系以及圓錐曲線中的定值與范圍問題，考查最基本的運算能力以及邏輯推理能力、方程的思想等，是難題.