Question

如圖，已知A，B，C是表面積為48π的球面上的三點，AB=2，BC=4，∠ABC=60°，O為球心，則二面角O-AB-C的大小為：（ ）

A．
B．
C．a(chǎn)rccos
D．a(chǎn)rccos

Answer 1

【答案】分析：先求出球的半徑，BC的中點為O₁，取AB中點D，連OD、O₁D，則∠ODO₁是二面角O-AB-C的平面角，在Rt△OO₁D中求出此角即可．
解答：解：球的半徑為；△ABC為直角三角形，斜邊BC是其外接圓的直徑，
記BC的中點為O₁，則OO₁⊥面ABC，在Rt△OO₁B中，OB=，BO₁=2，
∴OO₁=；取AB中點D，連OD、O₁D，則AB⊥OD，AB⊥O₁D，
∴∠ODO₁是二面角O-AB-C的平面角，在Rt△ABC中O₁D=AC=
故在Rt△OO₁D中，OD=，cos∠ODO₁=，∴∠ODO₁=arccos，
故選D．
點評：本小題主要考查球的表面積以及二面角的平面角及求法等有關(guān)知識，同時考查空間想象能力，計算能力，屬于中檔題．