）設點
C為曲線
y＝
(
x>0)上任一點，以點
C為圓心的圓與
x軸交于點
E、
A，與
y軸交于點
E、
B.
(1)證明：多邊形
EACB的面積是定值，并求這個定值；
(2)設直線
y＝－2
x＋4與圓
C交于點
M，
N，若|
EM|＝|
EN|，求圓
C的方程．
（1）見解析；（2）(x－2)2＋(y－1)2＝5.
(1)可直接確定點E為原點，所以設圓心C
，然后根據(jù)半徑長度為|OC|，即可寫出圓的標準方程 ,然后再求四邊形的面積看是否是定值即可。
（2）根據(jù)圓的幾何性質可知CE所在直線與直線y=-2x+4垂直，所以根據(jù)斜率積為-1，即可求出t的值，進而確定圓的方程。
解：(1)證明：設點
C (
t>0)，因為以點
C為圓心的圓與
x軸交于點
E、
A，與
y軸交于點
E、
B.
所以，點
E是直角坐標系原點，即
E(0,0)．
于是圓
C的方程是(
x－
t)
2＋
2＝
t2＋
.
則
A(2
t,0)，
B
.
由|
CE|＝|
CA|＝|
CB|知，圓心
C在Rt△
AEB的斜邊
AB上，于是多邊形
EACB為Rt△
AEB，
其面積
S＝
|
EA|·|
EB|＝
×2
t×
＝4.
所以多邊形
EACB的面積是定值，這個定值是4.
(2)若|
EM|＝|
EN|，則
E在
MN的垂直平分線上，即
EC是
MN的垂直平分線．
因為
kEC＝
＝
，
kMN＝－2.
所以由
kEC·
kMN＝－1得
t＝2.
所以圓
C的方程是(
x－2)
2＋(
y－1)
2＝5.
練習冊系列答案
相關習題
科目：高中數(shù)學
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選修4-4：坐標系與參數(shù)方程
（Ⅰ）求直線
（
為參數(shù)）的傾斜角的大小.
（Ⅱ）在極坐標系中，已知點
，
是曲線
上任意一點，求
的面積的最小值．
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,直線
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的值是（ ）
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設
m>0，則直線
x＋
y＋1＋
m＝0與圓
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y2＝
m的位置關系是( )
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（1）以A、B所在的直線為x軸，線段AB的中點為原點建立如圖直角坐標系，試確定點P所在曲線
的形狀；
（2）請說明（1）中曲線
外的居民選擇A地購物是否合算？
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科目：高中數(shù)學
來源：不詳
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2+y
2+2x+ay-3=0(a為實數(shù))上任意一點關于直線
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.
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科目：高中數(shù)學
來源：不詳
題型：解答題
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內有一點P(－1,2)，弦AB為過點P．
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，求點
的坐標所滿足的關系式．
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科目：高中數(shù)學
來源：不詳
題型：填空題
圓
與直線
相交于
兩點, 若
(
為原點),則圓的半徑
值的為
；
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科目：高中數(shù)學
來源：不詳
題型：填空題
經(jīng)過點（0，-1）作圓
的切線，切點分別為A和B，點Q是圓C上一點，則
面積的最大值為
。
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