Question

（本小題滿分13 分）

    如圖（1）是一正方體的表面展開圖，MN 和PB 是兩條面對角線，請在圖（2）的正方體中將MN 和PB 畫出來，并就這個正方體解決下面問題。

   （1）求證：MN//平面PBD；

   （2）求證：AQ⊥平面PBD；

   （3）求二面角P—DB—M 的大小．

 

Answer 1

【答案】

（1）MN//平面PBD

        (2) AQ⊥平面PBD

        (3)

【解析】

解：M、N、Q、B的位置如右圖示。（正確標出給1分）

    （1）∵ND//MB且ND=MB

    ∴四邊形NDBM為平行四邊形

    ∴MN//DB………………3分

    ∴BD平面PBD，MN

    ∴MN//平面PBD……………………4分

   （2）∵QC⊥平面ABCD，BD平面ABCD，

    ∴BD⊥QC……………………5分

    又∵BD⊥AC，

∴BD⊥平面AQC…………………………6分

    ∵AQ面AQC

    ∴AQ⊥BD，同理可得AQ⊥PB，

    ∵BDPD=B

    ∴AQ⊥面PDB……………………………8分

   （3）解法1：分別取DB、MN中點E、F連結

    PE、EF、PF………………9分

    ∵在正方體中，PB=PB

    ∴PE⊥DB……………………10分

    ∵四邊形NDBM為矩形

    ∴EF⊥DB

    ∴∠PEF為二面角P—DB—M為平面角…………11分

    ∵EF⊥平面PMN

    ∴EF⊥PF

    設正方體的棱長為a，則在直角三角形EFP中

    ∵

    ∴

    …………………………13分

    解法2：設正方體的棱長為a，

    以D為坐標原點建立空間直角坐標系如圖：

    則點A（a,0，0），P（a,0,a），Q（0,a,a）…………9分

    ∴………………10分

    ∵PQ⊥面DBM，由（2）知AQ⊥面PDB

    ∴分別為平面PDB、平面DBM的法向量……………………12分

    ∴

   

    ∴………………13分