Question

設函數fn(x)=1-x+

x2

2

-

x3

3

+…-

x2n-1

2n-1

(n∈N*)．
（Ⅰ）研究函數f₂（x）的單調性；
（Ⅱ）判斷f_n（x）=0的實數解的個數，并加以證明．

Answer 1

分析：（I）寫出要用的函數，對于函數求導，導函數是一個二次函數，配方整理看出導函數一定小于0，得到函數的單調性．
（II）首先驗證當n=1時，只有一個解，在驗證n大于等于2時的情況，求出導數，根據導數的正負看出函數的單調性，看出交點的個數．

解答：解：（Ⅰ）f2(x)=1-x+

1

2

x2-

1

3

x3，f₂^′（x）=-1+x-x²=-(x-

1

2

)2-

3

4

＜0，
所以f₂（x）在R單調遞減．
（Ⅱ）f₁（x）=1-x有唯一實數解x=1
由fn(x)=1-x+

x2

2

-

x3

3

+…-

x2n-1

2n-1

，n∈N*，
得f_n^′（x）=-1+x-x²+…+x^2n-3-x^2n-2．
（1）若x=-1，則f_n^′（x）=-（2n-1）＜0．
（2）若x=0，則f_n^′（x）=-1＜0．
（3）若x≠-1，且x≠0時，則fn′(x)= -

x2n-1+1

x+1

．
①當x＜-1時，＜0，x^2n-1+1＜0，f_n^′（x）＜0．
②當x＞-1時，f_n^′（x）＜0
綜合（1），（2），（3），得f_n^′（x）＜0，
即f_n（x）在R單調遞減．
又f_n（x）=1＞0，fn(2)=(1-2)+(

22

2

-

23

3

)+(

24

4

-

25

5

)+…+(

22n-2

2n-2

-

22n-1

2n-1

)
=-1+(

1

2

-

2

3

)22+(

1

4

-

2

5

)24+…+(

1

2n-2

-

2

2n-1

)22n-2
=-1-

1

2•3

22-

3

4•5

24-…-

2n-3

(2n-2)(2n-1)

22n-2＜0，
所以f_n（x）在（0，2）有唯一實數解，從而f_n（x）在R有唯一實數解．
綜上，f_n（x）=0有唯一實數解．

點評：本題考查函數與方程的關系和導數的應用，本題解題的關鍵是可以導數看出函數的單調性，根據單調性確定函數與橫軸的交點個數．