Question

設(shè)函數(shù)fn(x)=-1+

x

1!

+

x2

2!

+…+

xn

n!

，(x∈R，n∈N*)
（1）證明對(duì)每一個(gè)n∈N^*，存在唯一的xn∈[

1

2

，1]，滿足f_n（x_n）=0；
（2）由（1）中的x_n構(gòu)成數(shù)列{x_n}，判斷數(shù)列{x_n}的單調(diào)性并證明；
（3）對(duì)任意p∈N^*，x_n，x_n+p滿足（1），試比較|x_n-x_n+p|與

1

n

的大小．

Answer 1

分析：（1）本小題即證明函數(shù)在[

1

2

，1]內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)，由零點(diǎn)判定定理可得零點(diǎn)所在區(qū)間，利用導(dǎo)數(shù)可判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而得零點(diǎn)的唯一性；
（2）只需判斷x_n與x_n+1的大小關(guān)系即可，由（1）可知f_n（x）在（0，+∞）上遞增，根據(jù)fn(xn+1)=-1+xn+1+

x 2 n+1

2!

+…+

x n n+1

n!

，及fn+1(xn+1)=-1+xn+1+

x 2 n+1

2!

+…+

x n n+1

n!

+

x n+1 n+1

(n+1)!

=fn(xn+1)+

x n+1 n+1

(n+1)!

=0，可判斷f_n（x_n+1）與0=f_n（x_n）的大小關(guān)系，再根據(jù)f_n（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性可作出x_n與x_n+1的大小比較；
（3）由數(shù)列{x_n}單調(diào)性可知x_n-x_n+p＞0，由x_n，x_n+p滿足（1）知，fn(xn)=-1+xn+

x 2 n

2!

+…+

x n n

n!

=0，fn+p(xn+p)=-1+xn+p+

x 2 n+p

2!

+…+

x n n+p

n!

+

x n+1 n+p

(n+1)!

+…+

x n+p n+p

(n+p)!

=0，兩式相減：并結(jié)合x(chóng)_n+p-x_n＜0，以及xn∈[

1

2

，1]可表示出x_n-x_n+p，利用不等式進(jìn)行放縮可證明；

解答：解：（1）f′n(x)=1+x+

x2

2!

+…+

xn-1

(n-1)!

，
顯然，當(dāng)x＞0時(shí)，f'_n（x）＞0，
故f_n（x）在（0，+∞）上遞增．
又fn(1)=-1+1+

1

2!

+…+

1

n!

≥0，fn(

1

2

)=-1+

1

2

+

( 1 2 )2

2!

+…+

( 1 2 )n

n!

＜-1+

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n=-1+

1 2 (1-( 1 2 )n)

1- 1 2

=-(

1

2

)n＜0，
故存在唯一的xn∈[

1

2

，1]，滿足f_n（x_n）=0；
（2）由（1）知f_n（x）在（0，+∞）上遞增，
∵fn(xn+1)=-1+xn+1+

x 2 n+1

2!

+…+

x n n+1

n!

，
∴fn+1(xn+1)=-1+xn+1+

x 2 n+1

2!

+…+

x n n+1

n!

+

x n+1 n+1

(n+1)!

=fn(xn+1)+

x n+1 n+1

(n+1)!

=0，
∴fn(xn+1)=-

x n+1 n+1

(n+1)!

＜0=fn(xn)，
由（1）知f_n（x）在（0，+∞）上遞增，
故x_n+1＜x_n，即數(shù)列{x_n}單調(diào)遞減．
（3）由（2）知數(shù)列{x_n}單調(diào)遞減，故x_n-x_n+p＞0，
而fn(xn)=-1+xn+

x 2 n

2!

+…+

x n n

n!

=0，fn+p(xn+p)=-1+xn+p+

x 2 n+p

2!

+…+

x n n+p

n!

+

x n+1 n+p

(n+1)!

+…+

x n+p n+p

(n+p)!

=0，
兩式相減：并結(jié)合x(chóng)_n+p-x_n＜0，以及xn∈[

1

2

，1]，得

xn-xn+p= n k=2 x k n+p - x k n k! + n+p k=n+1 x k n+p k!             ＜ n+p k=n+1 x k n+p k! ≤ n+p k=n+1 1 k! ＜ n+p k=n+1 1 k(k-1)             = n+p k=n+1 [ 1 k-1 - 1 k ]= 1 n - 1 n+p ＜ 1 n

所以有|xn-xn+p|＜

1

n

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合，考查學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，本題綜合性強(qiáng)，對(duì)能力要求高．