Question

已知橢圓E的中心在坐標原點，焦點在x軸上，離心率為

1

2

，且橢圓E上一點到兩個焦點距離之和為4；l₁，l₂是過點P（0，2）且互相垂直的兩條直線，l₁交E于A，B兩點，l₂交E交C，D兩點，AB，CD的中點分別為M，N． 
（1）求橢圓E的方程；  
（2）求l₁的斜率k的取值范圍；
（3）求證直線OM與直線ON的斜率乘積為定值（O為坐標原點）

Answer 1

分析：（1）設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，由離心率為

1

2

，且橢圓E上一點到兩個焦點距離之和為4可得

c a = 1 2 2a=4 a2=b2+c2

解得即可；
（2）由題意知，直線l₁的斜率存在且不為零．由l₁⊥l₂可得l₁：y=kx+2，l2：y=-

1

k

x+2．分別與橢圓的方程聯立轉化為一元二次方程的判別式△＞0即可得出；
（3）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀），利用（2）可得x₁+x₂，利用中點坐標公式可得M，N的坐標，再利用斜率計算公式即可證明：
直線OM與直線ON的斜率乘積為定值．

解答：解：（1）設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)
由離心率為

1

2

，且橢圓E上一點到兩個焦點距離之和為4可得

c a = 1 2 2a=4 a2=b2+c2

解得

a=2 b= 3

．
∴橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）由題意知，直線l₁的斜率存在且不為零．
∵l₁：y=kx+2，∴l2：y=-

1

k

x+2．
由

x2 4 + y2 3 =1 y=kx+2

消去y并化簡整理，得（3+4k²）x²+16kx+4=0，
根據題意，△=（16k）²-16（3+4k²）＞0，解得k2＞

1

4

．
同理得(-

1

k

)2＞

1

4

，k2＜4，
∴

1

4

＜k2＜4，k∈(-2，-

1

2

)∪(

1

2

，2)．
（3）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀）
那么x1+x2=-

16k

3+4k2

，
∴x0=

x1+x2

2

=-

8k

3+4k2

，y0=kx0+2=

6

3+4k2

，
∴M(-

8k

3+4k2

，

6

3+4k2

)
同理得N(-

8(- 1 k )

3+4(- 1 k )2

，

6

3+4(- 1 k )2

)，即N(

8 k

3+ 4 k2

，

6

3+ 4 k2

)，
∴kOM•kON=-

3

4k

•

3k

4

=-

9

16

，
即直線OM與直線ON的斜率乘積為定值-

9

16

．

點評：本題考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓與橢圓相交問題轉化為方程聯立得到一元二次方程的判別式△＞0、中點坐標公式、斜率計算公式等基礎知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．