Question

【題目】如圖，已知三棱柱的所有棱長都相等，且側棱垂直于底面，由沿棱柱側面經過棱到點的最短路線長為，設這條最短路線與的交點為．

（1）求三棱柱的體積；

（2）證明：平面平面．

Answer 1

【答案】（1） （2）詳見解析

【解析】試題分析：（1）由題意求出棱長，再求出三棱柱ABC-A1B1C1的底面面積，再求出高AA1，即可求出棱柱的體積．（2）連接AD，B1D，平面A1BD內的直線OD垂直平面A1ABB1內的兩條相交直線A1B，AB1，即可證明平面A1BD⊥平面A1ABB1．

試題解析：

(1)如圖，將側面繞棱旋轉使其與側面在同一平面上，點運動到點的位置，連接，則就是由點沿棱柱側面經過棱到點的最短路線．

設棱柱的棱長為，則，

∵，∴為的中點，

在中，由勾股定理得，

即解得，

∵，

∴．

（2）設與的交點為，連結，

∵，

∴，∴，

∵，∴平面．

又∵平面，∴平面平面．