Question

【題目】下列命題:

①動點M到二定點A、B的距離之比為常數則動點M的軌跡是圓

②橢圓的離心率為,則

③雙曲線的焦點到漸近線的距離是

④已知拋物線上兩點(是坐標原點),則

以上命題正確的是( )

A.②③④B.①④

C.①③D.①②③

Answer 1

【答案】D

【解析】

對于①，通過建立坐標系，求出動點的軌跡方程判斷出正確；利用橢圓中三個參數的關系判斷出②對；對于③，據雙曲線的方程求出焦點坐標和漸近線方程，利用點到直線的距離公式判斷出正確；對于④，利用向量垂直的充要條件判斷出其錯

對于①，以AB所在的直線為x軸，AB的中垂線為y軸建立坐標系，設M（x，y），A（-a，0），B（a，0），則有 化簡得（1-λ2）x2+（1-λ2）y2+（2a+2aλ2）x+a2-a2λ2=0，所以動點M的軌跡是圓，①正確；
對于②，，所以，所以a2=2c2，所以橢圓中有b2=a2-c2=c2，所以b=c，所以②正確；
對于③，雙曲線的焦點坐標為（±c，0），漸近線的方程為：，根據點到直線的距離公式得到距離=．所以③正確；
對于④，因為OA⊥OB，所以x1x2+y1y2=0，又因為y2=2px，所以y12＝2px1，y22＝2px2，所以y1y2=-4p2．④不正確

故選：D．