Question

【題目】已知函數f（x）在R上滿足f（x+y）=f（x）+f（y），且當x＞0時，f（x）＞0，f（1）=2．
（1）求f（0）、f（3）的值；
（2）判定f（x）的單調性；
（3）若f（4x﹣a）+f（6+2x+1）＞6對任意x恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵對任意x，y∈R，有f（x+y）=f（x）+f（y），

令x=y=0，則有f（0）=f（0）+f（0），

∴f（0）=0，

令x=y=1，則有f（2）=f（1）+f（1），

∴f（2）=4，

令x=2，y=1，則有f（3）=f（2）+f（1），

∴f（3）=6

（2）解：令x=x，y=﹣x，則有f（0）=f（x）+f（﹣x）=0，

∴f（﹣x）=﹣f（x），

任取x1，x2∈R，設x1＜x2，∴x2﹣x1＞0，又x＞0時，f（x）＞0，

則有f（x2）﹣f（x1）=f（x2）+f（﹣x1）=f（x2﹣x1）＞0，

∴f（x1）＜f（x2），

∴f（x）是R上的增函數

（3）解：f（4x﹣a）+f（6+2x+1）＞6恒成立，

由已知及（1）即為f（4x﹣a）+f（6+2x+1）＞f（3）恒成立

∵f（x）是R上的增函數，

∴4x﹣a+6+2x+1＞3恒成立，即4x+2×2x+3＞a恒成立，

令g（x）=4x+2×2x+3=（2x+1）2+2

∵2x＞0，

∴g（x）＞3，

∴a≤3，

即實數a的取值范圍為（﹣∞，3]

【解析】（1）令x=y=0，可得f（0）=0，再令x=y=1，可得f（2）=4，再x=2，y=1，則有f（3）=6，（2）用定義判定f（x）的單調性；（3）利用f（x）的單調性，原不等式轉化為4x+2×2x+3＞a恒成立，構造函數g（x）=4x+2×2x+3=（2x+1）2+2，求出函數最值即可．