Question

已知集合M是滿足下列性質函數的f（x）的全體，在定義域D內存在x₀，使得f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）成立．
（1）函數f（x）=

1

x

，g（x）=x²是否屬于集合M？分別說明理由．
（2）若函數f（x）=lg

a

x2+1

屬于集合M，求實數a的取值范圍．

Answer 1

（1）對于函數f（x）=

1

x

，D=（-∞，0）∪（0，+∞），若f（x）∈M，
則存在非零實數x₀，使得

1

x0+1

=

1

x0

+1，即x02+x₀+1=0，顯然此方程無實數解，
∴f（x）∉M；
函數g（x）=x²，D=R，若g（x）∈M成立，
則有(x0+1)2=x02+1，解得x₀=0，
∴g（x）∈M；
（2）由條件得：D=R，a＞0，由f（x）∈M知，
存在實數x₀，使得lg

a

(x0+1)2+1

=lg

a

x02+1

+lg

a

2

，
∴

a

(x0+1)2+1

=

a

x02+1

•

a

2

，
化簡得：（a-2）x02+2ax₀+2a-2=0，
當a=2時，x₀=-

1

2

，符號題意；
當a≠2時，由△≥0得：4a²-4（a-2）（2a-2）≥0，
即3-

5

≤a≤3+

5

（a≠2），
綜上所述，a的取值范圍是[3-

5

，3+

5

]．