Question

已知函數已知冪函數為偶函數，且在區間（0，+∞）上是單調增函數，又f（x）=sinx+mcosx，F（x）=f′（x）[f（x）+f′（x）]-1，f′（x）是f（x）的導函數．
（I）若，求F（x）的值；
（Ⅱ）把F（x）圖象的橫坐標縮小為原來的一半后得到H（x），求H（x）的單調減區間．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用冪函數為偶函數，且在區間（0，+∞）上是單調增函數，確定m的值．再求導，即可求得F（x）的值；
（Ⅱ）先確定H（x）的解析式，再利用余弦函數的單調性，即可求得H（x）的單調減區間．
解答：解：（I）冪函數為偶函數，且在區間（0，+∞）上是單調增函數
∴-m²+2m+3＞0，∴-1＜m＜3，
又m∈Z，函數f（x）為偶函數，故m=1…．（3分）
∴f（x）=sinx+cosx，f'（x）=cosx-sinx
∴F（x）=f′（x）[f（x）+f′（x）]-1=2（cosx-sinx）cosx-1=cos2x-sin2x=
∵，F（x）=．…（6分）
（Ⅱ）由（I）知：F（x）=cos2x-sin2x=，∴．
令得：
∴H（x）的單調減區間為…（12分）
點評：本題考查冪函數，考查導數知識的運用，考查三角函數的化簡，考查函數的單調性，考查學生的計算能力，屬于中檔題．