Question

已知圓心在直線y=2x上的圓C經過點M（-1，1），且該圓被x軸截得的弦長為2．
（1）求圓C的方程；
（2）是否存在過圓心C的兩條互相垂直的直線，使得點M到這兩條直線的距離之積為

3

2

，若存在，請求出滿足條件的直線方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由圓心在直線y=2x上，設圓心坐標為（a，2a），半徑為r，表示出圓的方程，將M坐標代入得到關于a與r的關系式，再有弦長為2，利用垂徑定理及勾股定理列出關系式，聯立求出a與r的值，即可確定出圓C的方程；
（2）由（1）得到圓C的圓心坐標與半徑，假設存在互相垂直的兩條直線滿足條件，當一條直線的斜率不存在，另一條直線斜率為0時，經檢驗不合題意；故兩直線斜率都存在，利用兩直線垂直時斜率的乘積為-1，設一個斜率為k，另一個為-

1

k

，由C坐標表示出直線方程，利用點到直線的距離公式求出M到兩直線的距離，根據距離之積列出關于k的方程，求出方程的解得到k的值，即可確定出滿足條件的直線方程．

解答：解：（1）∵圓心在直線y=2x上，
∴設圓C的方程為（x-a）²+（y-2a）²=r²，…①
又∵圓C經過點（-1，1），
∴（-1-a）²+（1-2a）²=r²，…②
又∵圓C被x軸截得的弦長為2，
∴1+（2a）²=r²，…③
由①②③解得a=1，r²=5，
則圓C的方程為（x-1）²+（y-2）²=5；                 
（2）由（1）知圓C的方程為（x-1）²+（y-2）²=5，圓心C（1，2），
假設存在互相垂直的兩條直線滿足條件，
當一條直線的斜率不存在，另一條直線斜率為0時，
點（-1，1）到兩條垂直直線的距離之積為2≠

3

2

，不符合題意；
當它們的斜率均存在時，
分別設為y-2=k（x-1），y-2=-

1

k

（x-1），即kx-y+2-k=0，x+ky-2k-1=0，
∴

|-2k+1|

1+k2

•

|-k-2|

1+k2

=

3

2

，即

|2k2+3k-2|

1+k2

=

3

2

，
當

2k2+3k-2

1+k2

=

3

2

時，即k²+6k-7=0，解得：k=1或k=-7；
當

2k2+3k-2

1+k2

=-

3

2

時，即7k²+6k-1=0，解得：k=-1或k=

1

7

，
則存在互相垂直的兩條直線方程分別為x-y+1=0，x+y-3=0或x-7y+13=0，7x+y-9=0．

點評：此題考查了圓的標準方程，以及直線與圓的位置關系，涉及的知識有：圓的標準方程，點到直線的距離公式，垂徑定理，勾股定理，兩直線垂直時斜率滿足的關系，以及直線的點斜式方程，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．