Question

在平面直角坐標系xoy中，已知圓心在直線y=x+4上，半徑為的圓C經過坐標原點O，橢圓與圓C的一個交點到橢圓兩焦點的距離之和為10．
（1）求圓C的方程；
（2）若F為橢圓的右焦點，點P在圓C上，且滿足PF=4，求點P的坐標．

Answer 1

解：（1）由已知可設圓心坐標為（t，t+4），
t²+（t+4）²=8得t=-2，所以圓心坐標為（-2，2），
所以圓的方程為（x+2）²+（y-2）²=8；
（2）設P（m，n），由已知橢圓與圓C的一個交點到橢圓兩焦點的距離之和為10，得a=5
∴c²=25-9，c=4，故F（4，0），
則（m-4）²+（n-0）²=16，（m+2）²+（n-2）²=8
解之得：或．
∴P（0，0）或P（，）
分析：（1）設出圓心的坐標，把原點代入圓方程求得t，則圓心坐標可得，進而求得圓的方程．
（2）設P（m，n），根據題意求得F的坐標，把點P和F代入圓的方程，聯立求得m和n．
點評：本題主要考查了圓的方程的綜合應用．考查了考生綜合運用所學知識的能力和數形結合的思想．