Question

某工廠統計資料顯示，產品次品率p與日產量x（單位：件，x∈N^*，1≤x≤96）的關系如下：

x	1	2	3	4	…	96
p	1 33	3 98	3 97	1 32	…	3 4

又知每生產一件正品盈利a（a為正常數）元，每生產一件次品就損失

a

3

元．
（1）將該廠日盈利額T（元）表示為日產量x的函數；
（2）為了獲得最大的盈利，該廠的日產量應定為多少件？（注：次品率p=

次品個數

產品總數

×100%，正品率=1-p）

Answer 1

分析：（1）根據表格，先確定p=

3

100-x

，x中次品有xp，正品有（x-xp），進而可得該廠日盈利額T關于日產量x的函數；
（2）利用基本不等式可確定函數的最值．

解答：解：（1）因為 p=

3

100-x

，x中次品有xp，正品有（x-xp）
所以該廠日盈利額T=a（x-xp）-

a

3

xp=a（x-

4x

100-x

）  （1≤x≤96，x∈N^*）
（2）T=a（x-

4x

100-x

）=a[104-（100-x）-

400

100-x

]≤64a
當且僅當100-x=

400

100-x

，即x=80或120時，取等號
∵1≤x≤96，∴x=80時，該廠盈利最大．

點評：本題考查函數模型的構建，考查利用基本不等式求函數的最值，確定函數模型是關鍵．