Question

設

a

是已知的平面向量且

a

≠

0

，關于向量

a

的分解，有如下四個命題：
①給定向量

b

，總存在向量

c

，使

a

=

b

+

c

；
②給定向量

b

和

c

，總存在實數λ和μ，使

a

=λ

b

+μ

c

；
③給定單位向量

b

和正數μ，總存在單位向量

c

和實數λ，使

a

=λ

b

+μ

c

；
④給定正數λ和μ，總存在單位向量

b

和單位向量

c

，使

a

=λ

b

+μ

c

；
上述命題中的向量

b

，

c

和

a

在同一平面內且兩兩不共線，則真命題的個數是（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

選項①，給定向量

a

和

b

，只需求得其向量差

a

-

b

即為所求的向量

c

，
故總存在向量

c

，使

a

=

b

+

c

，故①正確；
選項②，當向量

b

，

c

和

a

在同一平面內且兩兩不共線時，向量

b

，

c

可作基底，
由平面向量基本定理可知結論成立，故可知②正確；
選項③，由題意必有λ

b

和μ

c

表示不共線且長度不定的向量，
由于μ為正數，故λ

b

+μ

c

不能把向量任意

a

表示出來，故③錯誤；
選項④，因為λ和μ為正數，所以λ

b

和μ

c

代表與原向量同向的且有固定長度的向量，
這就使得向量

a

不一定能用兩個單位向量的組合表示出來，
故不一定能使

a

=λ

b

+μ

c

成立，故④錯誤．
故選B