Question

(本小題滿分12分)
如圖，在直角坐標系中，已知橢圓：的離心率，左、右兩個焦點分別為、。過右焦點且與軸垂直的直線與橢圓相交、兩點，且．
(1)求橢圓的方程；
(2)設橢圓的左頂點為，下頂點為，動點滿足，試求點的軌跡方程，使點關于該軌跡的對稱點落在橢圓上．
                                    

Answer 1

 ，P的軌跡方程為或

（1）∵軸，∴，由橢圓的定義得：
∵，∴……………………2分
又得，∴，∵，∴，，
∴，
∴所求橢圓的方程為……………………5分
（2）由（1）知點，點為，設點的坐標為，
則，，
由得，
∴點的軌跡方程為……………………7分
設點B關于P的軌跡的對稱點為，則由軸對稱的性質可得，，解得，……………………9分
∵點在橢圓上，∴，整理得
，解得或。
∴點P的軌跡方程為或，……………………11分
經檢驗和都符合題設，
∴滿足條件的點P的軌跡方程為或……………………12分