Question

【題目】已知函數g(x)＝ (a∈R)，f(x)＝ln(x＋1)＋g(x).

(1)若函數g(x)過點(1，1)，求函數f(x)的圖象在x＝0處的切線方程；

(2)判斷函數f(x)的單調性.

Answer 1

【答案】(1) y＝3x;(2)見解析.

【解析】試題分析：（1）代入點（1，1），求得a=2，求出f（x）的導數，求得切線的斜率和切點，即可得到切線方程；
（2）求出f（x）的導數，對a討論，當a≥0時，當a<0時，令導數大于0，得增區間，令導數小于0，得減區間．

試題解析：

(1)因為函數g(x)過點(1，1)，所以1＝，解得a＝2，所以f(x)＝ln(x＋1)＋.由f′(x)＝＋＝，則f′(0)＝3，所以所求的切線的斜率為3.又f(0)＝0，所以切點為(0，0)，故所求的切線方程為y＝3x.

(2)因為f(x)＝ln(x＋1)＋ (x＞－1)，

所以f′(x)＝＋＝.

①當a≥0時，因為x＞－1，所以f′(x)＞0，

故f(x)在(－1，＋∞)上單調遞增；

②當a＜0時，由得－1＜x＜－1－a，

故f(x)在(－1，－1－a)上單調遞減；

由得x＞－1－a，

故f(x)在(－1－a，＋∞)上單調遞增.

綜上，當a≥0時，函數f(x)在(－1，＋∞)上單調遞增；

當a＜0時，函數f(x)在(－1，－1－a)上單調遞減，

在(－1－a，＋∞)上單調遞增.