Question

在數列{a_n}，{b_n}中，a₁=2，b₁=4，且a_n，b_n，a_n+1成等差數列，b_n，a_n+1，b_n+1成等比數列，
（1）求a₂，a₃，a₄及b₂，b₃，b₄，由此猜測{a_n}，{b_n}的通項公式，并證明你的結論；
（2）證明：。

Answer 1

解：（1）由條件得，
由此可得，
猜測，
用數學歸納法證明：
①當n=1時，由上可得結論成立；
②假設當n=k時，結論成立，即，
那么當n=k+1時，
，
所以當n=k+1時，結論也成立；
由①②，可知對一切正整數都成立。
（2），
n≥2時，由（Ⅰ）知，
故

，
綜上，原不等式成立。